我們把由半橢圓(x≥0)與半橢圓(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”，其中a2＝b2＋c2，a＞0，b＞c＞0．

如圖，設(shè)點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點，M是線段A1A2的中點．

(1)若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；

(2)設(shè)P是“果圓”的半橢圓(x≤0)上任意一點．求證：當|PM|取得最小值時，P在點B1，B2或A1處；

(3)若P是“果圓”上任意一點，求|PM|取得最小值時點P的橫坐標．

答案：
解析：

　　解：(1)，

　　，

　　于是，

　　所求“果圓”方程為，;

　　(2)設(shè)，則

　　

　　，

　　，的最小值只能在或處取到．

　　即當取得最小值時，在點或處;

　　(3)，且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由(2)知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．

　　

　　．

　　當，即時，的最小值在時取到，此時的橫坐標是．

　　當，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標是．

　　綜上所述，若，當取得最小值時，點的橫坐標是；若，當取得最小值時，點的橫坐標是或．


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精英家教網(wǎng)我們把由半橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（x≥0）與半橢圓
y2
b2
+
x2
c2
=1（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如圖，設(shè)點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點，M是線段A1A2的中點．
（1）若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；
（2）設(shè)P是“果圓”的半橢圓
y2
b2
+
x2
c2
=1（x≤0）上任意一點．求證：當|PM|取得最小值時，P在點B1，B2或A1處；
（3）若P是“果圓”上任意一點，求|PM|取得最小值時點P的橫坐標．

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(2007上海，21)我們把由半橢圓(x≥0)與半橢圓(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”，其中，a＞0，b＞c＞0．如下圖，點是相應(yīng)橢圓的焦點，分別是“果圓”與x、y軸的交點．

(1)若△是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

(2)當時，求的取值范圍；

(3)連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦．試研究：是否存在實數(shù)k，使斜率為k的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上?若存在，求出所有可能的k值；若不存在，說明理由．

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我們把由半橢圓(x≥0)與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0)．如圖，設(shè)點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1、A2和B1、B2是“果圓”與x，y軸的交點，若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角，則a，b的值分別為

[　　]

A．

B．

C．5，3

D．5，4

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我們把由半橢圓(x≥0)與半橢圓(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”，其中a2=b2+c2，a>0,b>c>0，如圖，點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1、A2和B1、B2分別是“果圓”與x 、y軸的交點
(1)若△FnF1F2是邊長為1的等邊三角形，求果圓的方程．
(2)當|A1A2|>|B1B2|時，求的取值范圍．

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