x2
4
+
y2
3
=1上有一動點P，圓E：（x-1）2+y2=1，過圓心E任意做一條直線與圓E交于A、B兩點，圓F：：（x+1）2+y2=1，過圓心任意做一條直線交圓F于C、D兩點，則
PA
•
PB
+
PC
•
PD
的最小值為
 
．
分析：先利用條件得出
EA
與
EB
互為相反向量，且長為1．再利用向量的三角形法則和向量的數(shù)量積的運算求出
PA
•
PB
的表達式；同理求出
PC
•
PD
，再與點P是橢圓上的點相結(jié)合即可求出結(jié)論．
解答：解：設(shè)P（a，b）
則由已知得
EA
與
EB
互為相反向量，且長為1．
又∵
PA
=
PE
+
EA
，
PB
=
PE
+
EB
，
∴
PA
•
PB
 =(
PE
+
EA
)  •(
PE
+
EB
)=
PE
2+
PE
•（
EA
+
EB
）+
EA
•
EB
=
PE
2+0-1=
PE
2-1；
同理可得
PC
•
PD
=
PF
2-1．
故
PA
•
PB
+
PC
•
PD
=
PE
2+
PF
2-2=（a-1）2+b2+（a+1）2+b2-2=2（a2+b2）    ①．
又因為點P（a，b）在
x2
4
+
y2
3
=1上，所以有
a2
4
+
b2
3
=1⇒b2=3（1-
a2
4
）      ②．
把②代入①整理得，
PA
•
PB
+
PC
•
PD
=2（3+
a2
4
）≥6．
故答案為6．
點評：本題主要考查向量基本知識以及圓與圓錐曲線的綜合問題．是對知識點的一個綜合考查，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xoy中，已知△ABC的頂點A（-1，0）和C（1，0），頂點B在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上，則
sinA+sinC
sinB
的值是（　　）
A、
3
2
B、
3
C、4
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上不同于左頂點A、右頂點B的任意一點，記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則k1•k2的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點P在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上運動，Q、R分別在兩圓（x+1）2+y2=1和（x-1）2+y2=1上運動，則|PQ|+|PR|的取值范圍為
[2，6]
[2，6]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點P在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上運動，Q、R分別在兩圓（x+1）2+y2=1和（x-1）2+y2=1上運動，則|PQ|+|PR|的最大值為（　　）

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同步練習(xí)冊答案