Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{x+1}$，函數(shù)g（x）的圖象是由y=1n$\frac{1}{x-2}$的圖象往左平移3個(gè)單位形成；令F（x）=f（x）-g（x）．（I）討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：?_n∈N^*，1n（n+1）+$\frac{1-n}{{n}^{2}}$＞1nn恒成立．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：g（x）=ln$\frac{1}{x+1}$．F（x）=$\frac{ax}{x+1}$-ln$\frac{1}{x+1}$．（x＞-1）．F′（x）=$\frac{x+1+a}{（x+1）^{2}}$，對(duì)a分類討論即可得出單調(diào)性．
（II）?_n∈N^*，1n（n+1）+$\frac{1-n}{{n}^{2}}$＞1nn恒成立?ln（1+x）＞x-x²，x∈（0，1]．令G（x）=ln（1+x）-x+x²，G（0）=0．利用研究其單調(diào)性即可證明．

解答 （I）解：函數(shù)g（x）的圖象是由y=1n$\frac{1}{x-2}$的圖象往左平移3個(gè)單位形成，∴g（x）=ln$\frac{1}{x+1}$．
F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{ax}{x+1}$-ln$\frac{1}{x+1}$．（x＞-1）．
F′（x）=$\frac{a}{（x+1）^{2}}$+$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x+1+a}{（x+1）^{2}}$，
①a≥0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
②a＜0時(shí)，-1＜x＜-a-1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減；
x＞-a-1，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增．
綜上可得：①a≥0時(shí)，函數(shù)F（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
②a＜0時(shí)，-1＜x＜-a-1時(shí)，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減；x＞-a-1，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增．
（II）證明：?_n∈N^*，1n（n+1）+$\frac{1-n}{{n}^{2}}$＞1nn恒成立?ln（1+x）＞x-x²，x∈（0，1]．
令G（x）=ln（1+x）-x+x²，G（0）=0．
G′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1+2x=$\frac{2{x}^{2}+x}{1+x}$＞0，∴函數(shù)G（x）在x∈（0，1]上單調(diào)遞增，∴G（x）＞G（0）=0．
因此ln（1+x）＞x-x²恒成立，x∈（0，1]．
∴：?_n∈N^*，1n（n+1）+$\frac{1-n}{{n}^{2}}$＞1nn恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．