Question

從⊙C：x²+y²-6x-8y+24=0外一點P向該圓引切線PT，T為切點，且|PT|=|PO|（O為坐標原點）
（1）|PT|的最小值為多少？
（2）|PT|取得最小值時點P的坐標為？

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）如圖所示，⊙C：x²+y²-6x-8y+24=0化為（x-3）²+（y-4）²=1，圓心C（3，4），半徑r=1．設(shè)P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．由切線的性質(zhì)可得：CT⊥PT，利用|PT|=

|PC|2-r2

及其|PT|=|PO|，
可得3x+4y-12=0．因此|PT|²=x²+y²=x2+(

12-3x

4

)2=

25

16

(x-

36

25

)2+

144

25

，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）由（1）可得：當x=

36

25

＜2，y=

12-3× 36 25

4

時，|PT|取得最小值．即可得出．

解答： 解：（1）如圖所示，
⊙C：x²+y²-6x-8y+24=0化為（x-3）²+（y-4）²=1，
圓心C（3，4），半徑r=1．
設(shè)P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．
∵CT⊥PT，
∴|PT|=

|PC|2-r2

=

(x-3)2+(y-4)2-1

．
∵|PT|=|PO|，
∴

x2+y2

=

(x-3)2+(y-4)2-1

．
化為3x+4y-12=0．
∴|PT|²=x²+y²=x2+(

12-3x

4

)2
=

25

16

(x-

36

25

)2+

144

25

，
當x=

36

25

＜2時，|PT|²取得最小值

144

25

，即|PT|取得最小值

12

5

．
（2）由（1）可得：當x=

36

25

＜2，y=

12-3× 36 25

4

=

48

25

時，|PT|取得最小值．
∴P(

36

25

，

48

25

)．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．