Question

20．滕州市正在積極創(chuàng)建國家森林城市，為加快生態(tài)環(huán)境建設(shè)，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費用為x億元，其中用于風(fēng)景區(qū)改造的為y億元．我市決定制定生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時具備下列兩個條件：①每年用于風(fēng)景區(qū)改造費用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費用增加而增加；②每年用于風(fēng)景區(qū)改造費用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的15%，但不得高于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的25%．若每年改造生態(tài)環(huán)境的總費用至少1億元，至多4億元，請你分析能否采用函數(shù)模型y=$\frac{1}{100}$（x³+4x+16）作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)的單調(diào)性，進而可求函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵y=$\frac{1}{100}$（x³+4x+16），
∴y′=$\frac{1}{100}（3{x}^{2}+4）$＞0，
∴函數(shù)y=$\frac{1}{100}$（x³+4x+16）是增函數(shù)，滿足條件①．
設(shè)g（x）=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{100}$（${x}^{2}+4+\frac{16}{x}$），
則g′（x）=$\frac{（x-2）（{x}^{2}+2x+4）}{50{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x=2．
當(dāng)x＜2時，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞2時，g′（x）＞0，g（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)，
又a=1，b=4，即x∈[1，2]，g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在[1，4]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=2時，g（x）有最小值=16%＞15%，
當(dāng)x=4時，g（x）=24%＜25%，x=1時，g（x）=25%≤25%．
∴能采用函數(shù)模型y=$\frac{1}{100}$（x³+4x+16）作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案．

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．