Question

已知點A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在拋物線y²=2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）
（I）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標(biāo)；
（II）求線段BC中點M的坐標(biāo)
（III）求BC所在直線的方程．

Answer 1

（I）由點A（2，8）在拋物線y²=2px上，有8²=2p•2解得p=16
所以拋物線方程為y²=32x，焦點F的坐標(biāo)為（8，0）

（II）如圖，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中點，AM是BC上的中線，由重心的性質(zhì)可得

AF

FM

=2；
設(shè)點M的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則

2+2x0

1+2

=8，

8+2y0

1+2

=0解得x₀=11，y₀=-4所以點M的坐標(biāo)為（11，-4）

（III）由于線段BC的中點M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸．
設(shè)BC所成直線的方程為y+4=k（x-11）（k≠0）
由

y+4=k(x-11) y2=32x

消x得ky²-32y-32（11k+4）=0
所以y1+y2=

32

k

由（II）的結(jié)論得

y1+y2

2

=-4解得k=-4
因此BC所在直線的方程為y+4=-4（x-11）即4x+y-40=0．