Question

已知函數(shù)（a∈R ）
（Ⅰ） 若y=f（x） 在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為，求y=f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ） 若y=f（x） 在[-2，0]上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)y=f（x） 在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為，建立方程組，解之即可求出a、b的值，再解不等式f'（x）＜0，可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（II）欲式y(tǒng)=f（x） 在[-2，0]上存在極值點(diǎn)，只需y=f'（x）在[-2，0]上存在零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)y=f'（x）值異號(hào)，討論a=0與a≠0兩種情形，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等關(guān)系，解之即可．
解答：解：f'（x）=ax²+x-（2+2a） 
（Ⅰ）由已知可得 此時(shí)f'（x）=-x²+x，--------（4分）
由f'（x）=-x²+x＜0 得y=f（x） 的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）；----（7分）
（Ⅱ）由已知可得y=f'（x）在[-2，0]上存在零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)y=f'（x）值異號(hào)
（1）a=0 時(shí)，f'（x）=0⇒x=2∉[-2，0]，不滿足條件；
（2）a≠0 時(shí)，可得在[-2，0]上有解且△＞0 
設(shè) 
①當(dāng)g（-2）g（0）≤0 時(shí)，滿足g（x）=0在[-2，0]上有解 
或a≤-1 此時(shí)滿足△＞0 
②當(dāng)g（-2）g（0）＞0時(shí)，即g（x）=0 
在[-2，0]上有兩個(gè)不同的實(shí)根
則 a 無解
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞-1]∪[2，+∞）．--------（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，同時(shí)考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．