Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x+α的最大值與最小值之和為-2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求使得函數(shù)f（x）≥0成立的x的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，可得a的值，即得到f（x）的解析式．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）≥0，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x+α．
化簡可得：f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{3}{2}$+a
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+2+a
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2+a．
（Ⅰ）∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值為1，最小值為-1．
∴4+2a=-2，
則 a=-3．
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）≥0，即2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1≥0．
得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）$≥\frac{1}{2}$．
∴$\frac{π}{6}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}+2kπ$．k∈Z．
解得：kπ≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
故得使得函數(shù)f（x）≥0成立的x的集合為{x|kπ≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．