Question

標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是P(x)=·(x∈R).

（1）求證：P（x）是偶函數(shù)；

（2）求P（x）的最大值；

（3）利用指數(shù)函數(shù)的性質說明P（x）的增減性.

Answer 1

（1）證明略（2）（3）當x＜0時，P(x)遞增.當x＞0時，P（x）遞減.

解析:

（1）證明  對任意x∈R，有P(-x)=

==P(x),∴P(x）為偶函數(shù).

（2）解  令t=,當x=0時，t=0,e^t=1.

∵e^t是關于t的增函數(shù)，當x≠0時，t＞0，e^t＞1.

∴當x=0，即t=0時，=e^t取最小值.

∴當x=0時，P（x）=取得最大值.

(3)解  任取x₁＜0，x₂＜0，且x₁＜x₂,

有＞,∴＜.

∴P(x₁)＜P(x₂),即當x＜0時，P(x)遞增.

又P(x)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)性質得，當x＞0時，P（x）遞減.