Question

(2004天津，22)橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)是，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c，0)(c＞0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程及離心率；

(2)若，求直線PQ的方程；

(3)設(shè)，過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明：．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由題意，可設(shè)橢圓的方程為， 由已知得 解得． 所以橢圓的方程為，離心率． (2)由(1)可得A(3，0)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x－3)， 由方程組得． 依題意，得． 設(shè)， 則 由直線PQ的方程得， .于是 ∵， ∴ 由①②③④得，從而． 所以直線PQ的方程為或． (3)，由已知得方程組 注意λ＞1，解得．因F(2，0)，，故 ．而，所以．