設(shè)G，Q分別為△ABC的重心和外心，A（0，-1），B（0，1），且GQ∥AB．
（I）求點C的軌跡E的方程；
（II）若l是過點P（1，0）且垂直于x軸的直線，是否存在直線l，使得l與曲線E交于兩個不同的點M，N，且MN恰被l平分？若存在，求出l的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

【答案】分析：（I）設(shè)C（x，y），由重心坐標公式的到G的坐標，再由GQ∥AB及Q在x軸上得到Q的坐標，又由|QB|=|QC建立方程．
（II）假設(shè)存在直線l：y=kx+m，代入跡E的方程，利用判別式大于0，及交點的中點橫坐標為1，解出斜率的范圍．
解答：解：（I）設(shè)C（x，y），則，因為GQ∥AB，可得；又由|QB|=|QC|，
可得點C的軌跡E的方程為．（6分）（沒有x≠0扣1分）
（II）假設(shè)存在直線l：y=kx+m，代入
并整理得（1+3k2）x2+6mkx+3（m2-1）=0，（8分）
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
則（*）（10分）
又△=36m2k2-12（1+3k2）（m2-1）
==，
解得或（13分）
特別地，若m=±1，代入（*）得，3k2±3k+1=0，此方程無解，即x≠0．
綜上，l的斜率的取值范圍是或．（14分）
點評：本題考查軌跡方程的求法，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系．
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精英家教網(wǎng)設(shè)G，Q分別為△ABC的重心和外心，A（0，-1），B（0，1），且GQ∥AB．
（I）求點C的軌跡E的方程；
（II）若l0是過點P（1，0）且垂直于x軸的直線，是否存在直線l，使得l與曲線E交于兩個不同的點M，N，且MN恰被l0平分？若存在，求出l的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足
OP
•
OQ
=-2？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有
GD
GC
=
GE
GA
=
GF
GB
=
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年廣東地區(qū)數(shù)學(xué)科全國各地模擬試題直線與圓錐曲線大題集 題型：044

設(shè)G，Q分別為△ABC的重心和外心，A(0，－1)，B(0，1)，且GQ∥AB．

(Ⅰ)求點C的軌跡E的方程；

(Ⅱ)若l0是過點P(1，0)且垂直于x軸的直線，是否存在直線l，使得l與曲線E交于兩個不同的點M，N，且MN恰被l0平分？若存在，求出l的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足數(shù)學(xué)公式？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有數(shù)學(xué)公式．

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