Question

11．已知f（x）=ln（e^x+1）+ax是偶函數(shù)，g（x）=e^x-be^-x是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷g（x）的單調(diào)性（不要求證明）；
（3）若不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求a，b的值；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷g（x）的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（e^x+1）-ax是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即f（-x）-f（x）=0，
則ln（e^-x+1）+ax-ln（e^x+1）+ax=0，
ln（e^x+1）-x+2ax-ln（e^x+1）=0，
則（2a-1）x=0，即2a-1=0，解得a=$\frac{1}{2}$．
若g（x）=e^x-be^-x是奇函數(shù)．
則g（0）=0，即1-b=0，
解得b=1；
（2）∵b=1，∴g（x）=e^x-e^-x，則g（x）單調(diào)遞增；
（3）由（II）知g（x）單調(diào)遞增；
則不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，
等價(jià)為f（x）＞m-x在[1，+∞）上恒成立，
即ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x＞m-x在[1，+∞）上恒成立，
則m＜ln（e^x+1）+$\frac{1}{2}$x，
設(shè)m（x）=ln（e^x+1）+$\frac{1}{2}$x，
則m（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴m（x）≥m（1）=ln（1+e）+$\frac{1}{2}$，
則m＜ln（1+e）+$\frac{1}{2}$，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，ln（1+e）+$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷以及不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法是解決恒成立問(wèn)題的基本方法．