四面體ABCD的四個頂點在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=2
3
，BD=
6
，則該球的表面積為（　　）
分析：取BD中點F，AC中點E，由等腰三角形三線合一，及線面垂直的判定定理，可得BD⊥面AFC，及AC⊥面BED．由韋達定理可得BE=DE=
6
，EF=
3
2
2
，結(jié)合EF=
R2-AE2
+
R2-BF2
，可得球的半徑R，進而得到球的表面積
解答：解：如左圖，取BD中點F，AC中點E
由AB=BC=CD=DA=3，可得
CF⊥BD，AF⊥BD，
又∵CF∩AF=F，CF，AF?平面AFC，
故BD⊥面AFC
同理AC⊥面BED
故球心O必位于兩垂直平面面AFC和面BED的交線EF上
又∵AC=2
3
，BD=
6

故BE=DE=
6
，EF=
3
2
2

設(shè)外接球半徑為R，如右圖（△AEO與△BFO不在同一平面）
利用EF=
R2-AE2
+
R2-BF2

解得R=
14
2

故該球的表面積S=4πR2=14π．
故選A
點評：本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出球心O必位于兩垂直平面面AFC和面BED的交線EF上，是解答的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
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9、如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面有（　�。⿲Γ�

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若四面體ABCD的四個頂點為A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），C（x3，y3，z3），D（x4，y4，z4），類比平面直角坐標系中三角形的重心，可得此四面體的重心為
 
．

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精英家教網(wǎng)如圖，已知四面體ABCD的四個面均為銳角三角形，EFGH分別是邊AB，BC，CD，DA上的點，BD||平面EFGH，且EH=FG．
（1）求證：HG||平面ABC
（2）請在平面ABD內(nèi)過點E做一條線段垂直于AC，并給出證明．

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在平面幾何里，有“若△ABC的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABCD的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為________”．

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