Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

+1（ω＞0），直線y=

3

與函數(shù)f（x）圖象相鄰兩公共點(diǎn)的距離為π
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若點(diǎn)（

B

2

，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且b=3，sinA=3sinC，求a，c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式以及三角函數(shù)的倍角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合函數(shù)的周期公式即可求ω的值；
（Ⅱ）根據(jù)條件求出B，利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

+1
=sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-cosωx
=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx
=

3

（

1

2

sinωx-

3

2

cosωx）
=

3

sin（ωx-

π

3

）．
∵直線y=

3

與函數(shù)f（x）圖象相鄰兩公共點(diǎn)的距離為π
∴函數(shù)f（x）的周期T=2π=

2π

ω

，
解得ω=1；
（Ⅱ）∵ω=1，∴f（x）=

3

sin（x-

π

3

）．
∵點(diǎn)（

B

2

，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，
∴

B

2

-

π

3

=kπ，即B=2kπ+

2π

3

，
則當(dāng)k=0時(shí)，B=

2π

3

，
∵sinA=3sinC，∴由正弦定理得a=3c，
∵b=3，∴b²=a²+c²-2accos

2π

3

，
即9=9c²+c²+2×3c×c×

1

2

=13c²，
即c²=

9

13

，解得c=

3 13

13

，a=

9 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及正弦定理和余弦函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．