Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，則過(guò)橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$ （φ為參數(shù)）的右焦點(diǎn)且與直線$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=3-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）平行的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為$\frac{90\sqrt{14}}{61}$．

Answer 1

分析 橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$ （φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系化為普通方程，其右焦點(diǎn)F（4，0）．可得過(guò)右焦點(diǎn)且與直線$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=3-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）平行的直線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{2}{\sqrt{5}}t}\\{y=\frac{1}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入橢圓方程可得關(guān)于t的一元二次方程，利用直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$ （φ為參數(shù)）化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，c=$\sqrt{25-9}$=4，其右焦點(diǎn)F（4，0）．
過(guò)右焦點(diǎn)且與直線$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=3-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）平行的直線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{2}{\sqrt{5}}t}\\{y=\frac{1}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入橢圓方程可得：61t²+144$\sqrt{5}$t-405=0，
∴t₁+t₂=$-\frac{144\sqrt{5}}{61}$，t₁t₂=-$\frac{405}{61}$．
∴直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{90\sqrt{14}}{61}$．
故答案為：$\frac{90\sqrt{14}}{61}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．