Question

如圖，分別是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁直觀圖及其正視圖、俯視圖、側(cè)視圖．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

分析：由三視圖可知三棱柱的底面是一個(gè)直角邊為a的等腰直角三角形，高為a，由于在C點(diǎn)出現(xiàn)三線垂直，故我們可以以C為原點(diǎn)，分別以CB、CC₁、CA為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，利用向量法解題．
（1）要證MN∥平面ACC₁A₁，即證直線MN的方向向量與平面ACC₁A₁的法向量垂直；
（2）要證MN⊥平面A₁BC，即證直線MN的方向向量與平面A₁BC的法向量平行；
（3）二面角A-A₁B-C的大小，即求平面A₁BA的法向量與平面A₁BC的法向量的夾角（或其補(bǔ)角）

解答：解：（Ⅰ）以C為原點(diǎn)，分別以CB、CC₁、CA為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，
則AC=BC=CC₁=a，A（0，0，a），C₁（0，a，0），
M(

a

2

 ， 

a

2

 ， 

a

2

)，N(

a

2

 ， a ， 0)，
AC₁=（0，a，-a），

MN

=(0 ， 

a

2

 ， -

a

2

)，
∴

AC1

=2

MN

，AC₁∥MN，
故MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）∵A₁（0，a，a）、B（a，0，0），
∴

A1B

=(a ， -a ， -a)；
又

MN

•

A1B

=0×a-a×

a

2

-a×(-

a

2

)=0，

MN

•

CB

=0×a+0×

a

2

+0×(-

a

2

)=0，
∴MN⊥A₁B，MN⊥CB，
又∵CB∩A₁B=B，CB，A₁B?平面A₁BC
∴MN⊥平面A₁BC．
（Ⅲ）作CH⊥AB于H點(diǎn)，
∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴CH⊥平面A₁BA，
故平面A₁BA的一個(gè)法向量為

CH

=(

a

2

 ， 0 ， 

a

2

)，
而平面A₁BC的一個(gè)法向量為

MN

=(0 ， 

a

2

 ， -

a

2

)，
∴cos?

CH

 ， 

MN

＞=

CH • MN

| CH |•| MN |

=

- a 2 × a 2

2 a 2 × 2 a 2

=-

1

2

，
故二面角A-A₁B-C的大小為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，進(jìn)而求幾何的表（側(cè)/底）面積或體積，是高考必考內(nèi)容，處理的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷空間幾何體的形狀，一般規(guī)律是這樣的：如果三視圖均為三角形，則該幾何體必為三棱錐；如果三視圖中有兩個(gè)三角形和一個(gè)多邊形，則該幾何體為N棱錐（N值由另外一個(gè)視圖的邊數(shù)確定）；如果三視圖中有兩個(gè)為矩形和一個(gè)多邊形，則該幾何體為N棱柱（N值由另外一個(gè)視圖的邊數(shù)確定）；如果三視圖中有兩個(gè)為梯形和一個(gè)多邊形，則該幾何體為N棱柱（N值由另外一個(gè)視圖的邊數(shù)確定）；如果三視圖中有兩個(gè)三角形和一個(gè)圓，則幾何體為圓錐．如果三視圖中有兩個(gè)矩形和一個(gè)圓，則幾何體為圓柱．如果三視圖中有兩個(gè)梯形和一個(gè)圓，則幾何體為圓臺(tái)．