Question

圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）．以⊙C與直線l相交的弦為直徑的圓的面積最小時(shí)圓的方程為

（x-3）²+（y-1）²=20

．

Answer 1

分析：將直線l方程化為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，可得l經(jīng)過直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點(diǎn)P（3，1）．設(shè)⊙C與l相交于A、B兩點(diǎn)，由平面幾何知識可得當(dāng)CP與l垂直時(shí)，以AB為直徑的圓為所求面積最小的圓，由此利用距離公式和垂徑定理加以計(jì)算，可得所求圓的方程．

解答：解：∵直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4化為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∴直線l經(jīng)過直線x+y-4=0與直線2x+y-7=0的交點(diǎn)，
聯(lián)解

x+y-4=0 2x+y-7=0

，得

x=3 y=1

，即直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（3，1）．
∵點(diǎn)P滿足：（3-1）²+（1-2）²＜25，∴點(diǎn)P為圓C內(nèi)部一點(diǎn)，
經(jīng)過點(diǎn)P的直線與圓C相交，設(shè)交點(diǎn)為A、B，
由平面幾何知識可得當(dāng)CP與直線l垂直時(shí)，線段AB長達(dá)到最小值，
以AB為直徑的圓為所求面積最小的圓．
∵此時(shí)|AB|=2

r2-|CP|2

=2

25-[(3-1)2+(1-2)2

 =4

5

∴圓的面積最小時(shí)，圓的半徑為2

5

，可得圓的方程為（x-3）²+（y-1）²=20．
故答案為：（x-3）²+（y-1）²=20

點(diǎn)評：本題給出直線與圓相交，求以所得弦為一條弦的面積最小的圓的方程．著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．