Question

函數(shù)f（x）=x²+ax+3，x∈[0，2]
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的最值，并說(shuō)明當(dāng)f（x）取最值時(shí)的x的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，
由于f （x）的對(duì)稱軸為x=-1，f （x）在[0，2]上是增函數(shù)，…（1分）
故當(dāng)x=0時(shí)，f（x）_min=f（0）=3；…（3分）
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_max=f（2）=11．…（5分）
（Ⅱ）[法一]：若f（x）≥0恒成立，即x²+ax+3≥0對(duì)于x∈[0，2]恒成立，故f（x）=x²+ax+3的最小值大于或等于零．
結(jié)合二次函數(shù)f（x）=x²+ax+3的圖象與性質(zhì)得：△=a²-4×3≤0，或，或． …（9分）
解得，…（11分）
所以a得取值范圍是．…（12分）
法二：當(dāng)x=0時(shí)，可得a∈R，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，可得，令 ，由于≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，取等號(hào)．
故有-（）≤-2，故 ，從而，．
分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，由于f （x）的對(duì)稱軸為x=-1，f （x）在[0，2]上是增函數(shù)，由此求得f（x）的最值，以及f（x）取最值時(shí)的x的值．
（Ⅱ）[法一]：由題意可得 x²+ax+3≥0對(duì)于x∈[0，2]恒成立，故f（x）=x²+ax+3的最小值大于或等于零，結(jié)合二次函數(shù)f（x）=x²+ax+3的圖象與性質(zhì)，求得a的取值范圍．
法二：當(dāng)x=0時(shí)，可得a∈R，滿足條件．當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，可得，令 ，利用基本不等式求得g（x）的最大值，即可得到a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．