Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

a

x

．
（1）試討論f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出極值點(diǎn)，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，對(duì)a進(jìn)行討論，利用圖象求出最小值；

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=lnx+

a

x

．
∴f′（x）=

1

x

+

-a

x2

=

x-a

x2

，
若a＞0，可得
當(dāng)x＞a時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
若a≤0，-a≥0，f′（x）＞0恒成立，f（x）為增函數(shù)；
（2）若a≤0，f（x）為增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=a；
若0＜a≤1時(shí)，f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
f（x）_min=f（1）=a；
若1＜a＜e時(shí)，f（x）在x=a處取得極小值也是最小值，
f（x）_min=f（a）=lna+1；
若a≥e，時(shí)，f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（e）=1+

a

e

；
綜上：

a≤1，f(x)最小值為a 1＜a＜e，f(x)最小值為lna+1 a≥e，f(x)最小值為：1+ a e

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其最值問(wèn)題，是一道中檔題，解題過(guò)程中用到了分類(lèi)討論的思想，這是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題；