如圖，以橢圓＋＝1(a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F(c，0)(c＞b)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A．連結OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．

(1)證明c2＝ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；

(2)設直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明·＝b2．

答案：
解析：

　　證明：(1)由題設條件，知Rt△OFA∽△Rt△OBF，

　　故，即．

　　因此，c2＝ab．

　　在Rt△OFA中，F(xiàn)A＝＝＝b．

　　于是，直線OA的斜率kOA＝．

　　設直線BF的斜率為k，則k＝．

　　這時，直線BF與y軸的交點為M(0，a)．

　　(2)由(1)，得直線BF的方程為y＝kx＋a，且k2＝．②

　　由已知，設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則它們的坐標滿足方程組③

　　由方程組③消去y，并整理，得(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，④

　　由式②、③和④，x1x2＝＝＝，

　　由方程組③消去x，并整理，得(b2＋a2k2)y2＋2ab2y＋a2b2－a2b2k2＝0，⑤

　　由式②和⑤，y1y2＝＝＝．

　　綜上，得到·＝x1x2＋y1y2＝＋＝．

　　注意到a2－ab＋b2＝a2－c2＋b2＝2b2，得

　　·＝

　�。�＝＝

　　＝(a2－ab)

　�。�(a2－c2)＝b2．

　　解析：本小題主要考查橢圓的標準方程的幾何性質、直線方程，平面向量、曲線和方程的關系等解析幾何的基礎知識和基本思想方法，考查推理及運算能力．


練習冊系列答案
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(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程

(Ⅱ)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1

(Ⅲ)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，請說明理由．

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(2)求MN的最小值；

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