Question

已知函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)g(x)=

4x+m2

2x

(m為非零常數(shù))的圖象向右平移兩個(gè)單位而得到．
（1）寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
（3）問(wèn)：是否存在集合M，當(dāng)x∈M時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2+m²，最小值為2-

m2

9

；若存在，試求出一個(gè)集合M；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用左加右減的平移規(guī)律，可得結(jié)論；
（2）證明函數(shù)f（x）的反函數(shù)是本身，即可得到結(jié)論；
（3）函數(shù)f（x）的最大值為2+m²，最小值為2-

m2

9

，轉(zhuǎn)化為y=

m2

2(x-2)

的最大值為m²，最小值為-

m2

9

，從而可得不等式，解不等式，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：∵函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)g(x)=

4x+m2

2x

(m為非零常數(shù))的圖象向右平移兩個(gè)單位而得到，
∴f（x）=

4(x-2)+m2

2(x-2)

；
（2）證明：令y=

4(x-2)+m2

2(x-2)

，則y-2=

m2

2(x-2)

∴2(x-2)=

m2

y-2

∴x=

4(y-2)+m2

2(y-2)

∴f-1(x)=

4(x-2)+m2

2(x-2)

∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
（3）解：f（x）=

4(x-2)+m2

2(x-2)

=2+

m2

2(x-2)

∵函數(shù)f（x）的最大值為2+m²，最小值為2-

m2

9

∴y=

m2

2(x-2)

的最大值為m²，最小值為-

m2

9

∴-

m2

9

≤

m2

2(x-2)

≤m2
∴x≤-

5

4

或

3

4

≤x＜2或x＞2，
∴存在集合M={x|x≤-

5

4

或

3

4

≤x＜2或x＞2}，當(dāng)x∈M時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2+m²，最小值為2-

m2

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象的平移，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．