設y=f(x)是定義在［-1，1］上的函數(shù)，且滿足:

(i)f(-1)=f(1)=0;

(ii)對任意的u、v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)證明對x∈［-1,1］都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)證明對任意的u、v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤1.

證明:(1)令u=x,v=1得

|f(x)-f(1)|≤|1-x|,

∵f(1)=0,∴|f(x)|≤1-x.

∴x-1≤f(x)≤1-x.

(2)當|u-v|≤1時,

|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1;

    當|u-v|＞1時,

    則u、v異號.不妨設u＜0,v＞0,

    則v-u＞1.

∴|f(u)-f(v)|=|f(u)-f(-1)+f(1)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(1)-f(v)|≤|u+1|+|1-v|=u+1+1-v=2-(v-u)＜1.

    綜上,|f(u)-f(v)|≤1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

設y=f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：①f(－1)=f(1)=0；②對任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x．

(2)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數(shù)y=f(x)，且使得：

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

設y=f(x)是定義在區(qū)間［-1,1］上的函數(shù),且滿足條件:

①f(-1)=f(1)=0;

②對任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)證明對任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)證明對任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在區(qū)間［-1,1］上是否存在滿足條件的奇函數(shù)y=f(x),且使得

若存在,請舉一例;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設y=f(x)是定義在區(qū)間［-1,1］上的函數(shù),且滿足條件:

①f(-1)=f(1)=0;

②對任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)證明對任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)證明對任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在區(qū)間［-1,1］上是否存在滿足條件的奇函數(shù)y=f(x),且使得

若存在,請舉一例;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：廣東省模擬題 題型：證明題

設y=f(x)是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對x1、x2∈（a，b），都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，則稱y=f(x)是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)．
（1）試證明對k∈R，f(x)=x2+kx+1都不是區(qū)間（-1，1）上的平緩函數(shù)；
（2）若f(x)是定義在實數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù)，試證明對x1、x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤1．

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