Question

17．在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)后，班級(jí)學(xué)委王明對(duì)選答題的選題情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表：（單位：人）

	幾何證明選講	坐標(biāo)系與參數(shù)方程	不等式選講	合計(jì)
男同學(xué)	12	4	6	22
女同學(xué)	0	8	12	20
合計(jì)	12	12	18	42

（Ⅰ）在統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，如果把《幾何證明選講》和《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》稱為幾何類，把《不等式選講》稱為代數(shù)類，我們可以得到如下2×2列聯(lián)表：（單位：人）

	幾何類	代數(shù)類	總計(jì)
男同學(xué)	16	6	22
女同學(xué)	8	12	20
總計(jì)	24	18	42

根據(jù)以下列聯(lián)表，在犯錯(cuò)誤不超過(guò)多少的情況下認(rèn)為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān)．
（Ⅱ）在原統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從選做不同選做題的同學(xué)中隨機(jī)選出7名同學(xué)進(jìn)行座談．已知學(xué)委王明和兩名數(shù)學(xué)科代表三人都在選做《不等式選講》的同學(xué)中．
①求在這名班級(jí)學(xué)委被選中的條件下，兩名數(shù)學(xué)科代表也被選中的概率；
②記抽到數(shù)學(xué)科代表的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測(cè)值所用的數(shù)據(jù)，
把數(shù)據(jù)代入觀測(cè)值公式中計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值，即可得出結(jié)論；
（2）①令事件A為“這名學(xué)委被抽取到”；事件B為“兩名數(shù)學(xué)科代表被抽到”，
利用條件概率求得兩名數(shù)學(xué)科代表也被選中的概率，
或利用古典概型概率公式直接計(jì)算也可；
②記抽取到數(shù)學(xué)科代表的人數(shù)為X，由題X的可能值有0，1，2；
依次求出相應(yīng)的概率分布列，再求數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測(cè)值
k=$\frac{42{×（16×12-8×6）}^{2}}{24×18×20×22}$=$\frac{252}{55}$≈4.582＞3.841，
所以，據(jù)此統(tǒng)計(jì)有95%的把握認(rèn)為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān)；
（Ⅱ）由題可知在“不等式選講”的18位同學(xué)中，要選取3位同學(xué)．
①方法一：令事件A為“這名班級(jí)學(xué)委被抽到”；事件B為“兩名數(shù)學(xué)科代表被抽到”，
則P（A∩B）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{1}{3×17×16}$，P（A）=$\frac{{C}_{17}^{2}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{1}{6}$；
所以P（B|A）=$\frac{P（A∩B）}{P（A）}$=$\frac{6}{3×17×16}$=$\frac{1}{136}$；
方法二：令事件C為“在這名學(xué)委被抽到的條件下，兩名數(shù)學(xué)科代表也被抽到”，
則P（C）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{17}^{2}}$=$\frac{2}{17×16}$=$\frac{1}{136}$；
②由題知X的可能值為0，1，2．
依題意P（X=0）=$\frac{{C}_{16}^{3}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{35}{51}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{16}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{5}{17}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{16}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{1}{51}$；
從而X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{35}{51}$	$\frac{5}{17}$	$\frac{1}{51}$

數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{35}{51}$+1×$\frac{5}{17}$+2×$\frac{1}{51}$=$\frac{17}{51}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列、獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．