Question

14．已知函數(shù)$f（x）=cos（\frac{π}{2}-x）cosx+\sqrt{3}{sin^2}x$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$時(shí)函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解出單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)x的范圍求出2x-$\frac{π}{3}$的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求出最值．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）的最小正周期是T=π．
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=0 時(shí)，f（x）取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$ 時(shí)，f（x）取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查三角公式，三角恒等變形等知識(shí)，屬于中檔題．