設(shè)x1、x2∈R，常數(shù)a＞0，定義運算“⊕”：x1⊕x2=（x1+x2）2，定義運算“?”：x1?x2=（x1-x2）2；對于兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），定義d(AB)=
y1?y2
．
（1）若x≥0，求動點P（x，
(x⊕a)-(x?a)
） 的軌跡C；
（2）已知直線l1 ： y=
1
2
x+1與（1）中軌跡C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，若
(x1?x2)+(y1?y2)
=8
15
，試求a的值；
（3）在（2）中條件下，若直線l2不過原點且與y軸交于點S，與x軸交于點T，并且與（1）中軌跡C交于不同的兩點P、Q，試求
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
的取值范圍．
分析：（1）設(shè)y=
(x⊕a)-(x?a)
，根據(jù)新定義運算得出：y2=（x⊕a）-（x?a）=（x+a）2-（x-a）2=4ax，從而得出的軌跡方程即可；
（2）先將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用根據(jù)新定義運算即可求得a值，從而解決問題；
（3）根據(jù)新定義運算得到：d(AB)=
y1?y2
=|y1-y2|，從而
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
=
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|

設(shè)直線l2：x=my+c，分別過P、Q作PP1⊥y軸，QQ1⊥y軸，垂足分別為P1、Q1，有
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=
|OT|
|PP1|
+
|OT|
|QQ1|
=
|c|
|xP|
+
|c|
|xQ|
．由
y2=8x
x=my+c
先將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用基本不等式即可求得試求
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
的取值范圍．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）設(shè)y=
(x⊕a)-(x?a)
，
則y2=（x⊕a）-（x?a）=（x+a）2-（x-a）2=4ax，
又由y=
(x⊕a)-(x?a)
≥0，
可得P（x，
(x⊕a)-(x?a)
） 的軌跡方程為y2=4ax（y≥0），軌跡C為頂點在原點，焦點為（a，0）的拋物線在x軸上及第一象限的內(nèi)的部分；
（2）由已知可得
y2=4ax
y=
1
2
x+1
，整理得x2+（4-16a）x+4=0，
由△=（4-16a）2-16=162a2-8×16a≥0，得a≥
1
2
或a≤0．
∵a＞0，∴a≥
1
2
．
∴
(x1?x2)+(y1?y2)
=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(x1-x2)2+(
x1-x2
2
)2
=
5
2
(x1+x2)2-4x1x2
=
5
2
(4-16a)2-16
=8
15
，
解得a=2或a=-
1
2
（舍）．
（3）∵d(AB)=
y1?y2
=|y1-y2|，
∴
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
=
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|

設(shè)直線l2：x=my+c，
依題意m≠0，c≠0，則T（c，0）
分別過P、Q作PP1⊥y軸，QQ1⊥y軸，垂足分別為P1、Q1，
則
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=
|OT|
|PP1|
+
|OT|
|QQ1|
=
|c|
|xP|
+
|c|
|xQ|
．
由
y2=8x
x=my+c
消去y得x2-（2c+8m2）x+c2=0．
∴
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|c|(
1
|xP|
+
1
|xQ|
)≥2|c|
1
xPxQ
=2|c|
1
c2
=2．
∵xP、xQ取不相等的正數(shù)，∴取等的條件不成立，
∴
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
的取值范圍是（2，+∞）．
點評：本題抽象函數(shù)、新定義函數(shù)類型的概念，不等式的性質(zhì)，放縮法的技巧，對于新定義類型問題，在解答時要先充分理解定義才能答題，避免盲目下筆，遇到困難才來重頭讀題，費時費力，另外要在充分抓住定義的基礎(chǔ)上，對式子的處理要靈活，各個式子的內(nèi)在聯(lián)系要充分挖掘出來，可現(xiàn)有結(jié)論向上追溯，看看需要哪些條件才能得出結(jié)果，再來尋求轉(zhuǎn)化取得這些條件．屬中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1、x2∈R，常數(shù)a＞0，定義運算“*”：x1*x2=（ x1+x2）2-（ x1-x2）2，若x≥0，則動點P（x，
x*a
）的軌跡是（　�。�
A、圓
B、橢圓的一部分
C、雙曲線的一部分
D、拋物線的一部分

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1，x2∈R，常數(shù)a＞0，定義運算“⊕”，x1⊕x2=(x1+x2)2，定義運算“?”，x1?x2=(x1-x2)2．現(xiàn)有x≥0，則動點P(x，
(x⊕a)-(x?a)
)的軌跡方程是
y2=4ax（y≥0）
y2=4ax（y≥0）
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1，x2∈R，常數(shù)a＞0，定義運算“*”：x1*x2=（x1+x2）2-（x1-x2）2．
（1）若x≥0，求動點P(x，
x*a
)的軌跡C的方程；
（2）若a=2，不過原點的直線l與x軸、y軸的交點分別為T，S，并且與（1）中的軌跡C交于不同的兩點P，Q，試求
|
ST
|
|
SP
|
+
|
ST
|
|
SQ
|
的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1，x2∈R，常數(shù)a＞0，定義運算“*”：x1*x2=（x1+x2）2-（x1-x2）2．
（1）若x≥0，求動點P(x，
x*a
)的軌跡C的方程；
（2）若a=2，不過原點的直線l與x軸、y軸的交點分別為T，S，并且與（1）中的軌跡C交于不同的兩點P，Q，試求
|
ST
|
|
SP
|
+
|
ST
|
|
SQ
|
的取值范圍；
（3）設(shè)P（x，y）是平面上的任意一點，定義d1(P)=
1
2
(x*x)+(y*y)
，d2(P)=
1
2
(x-a)*(x-a)
．若在（1）中的軌跡C存在不同的兩點A1，A2，使得d1（Ai）=
a
d2(Ai)(i=1，2)成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案