Question

A、B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得少于10km．已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ=0.25，若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．
（1）把兩城市月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；
（2）核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電費(fèi)用最小．（

2

≈1.414，結(jié)果保留一位小數(shù)）

Answer 1

分析：（1）A城供電費(fèi)用y₁=0.25×20x²，B城供電費(fèi)用y₂=0.25×10（100-x）²，總費(fèi)用y=y₁+y₂，整理即可；因?yàn)楹穗娬揪郃城xkm，則距B城（100-x）km；由x≥10，且100-x≥10，得x的范圍；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=7.5x²-500x+25000是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，x=-

b

2a

時(shí)，函數(shù)y取得最小值．

解答：解：（1）A城供電費(fèi)用為：y₁=0.25×20x²=5x²；
B城供電費(fèi)用為：y₂=0.25×10（100-x）²=2.5x²-500x+25000；
所以總費(fèi)用為：y=y₁+y₂=5x²+（2.5x²-500x+25000）=7.5x²-500x+25000
因?yàn)楹穗娬揪郃城xkm，則距B城（100-x）km；
∴x≥10，且100-x≥10，
解得，10≤x≤90；
所以，函數(shù)的定義域是{x|10≤x≤90}．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=7.5x²-500x+25000（其中10≤x≤90），
當(dāng)x=-

-500

2×7.5

=

100

3

時(shí)，此函數(shù)取得最小值；
所以，核電站建在距A城

100

3

km處，能使A、B兩城月供電總費(fèi)用最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，二次函數(shù)求最值時(shí)，通常考慮是否取在對(duì)稱軸x=-

b

2a

處，所以本題是中檔題．