Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD=

3

，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面PBC；
（Ⅱ）當(dāng)BE為何值時(shí)，二面角C-PE-D為45°．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）設(shè)BE=a，E（a，1，0求出平面PDE的法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出當(dāng)BE=

5 3

6

時(shí)，二面角C-PE-D為45°．

解答： （Ⅰ）證明：以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=PA=1，AD=

3

，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，
∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（

3

，1，0），

PB

=(0，1，-1)，

PC

=(

3

，1，-1)，F(xiàn)（0，

1

2

，

1

2

），

AF

=（0，

1

2

，

1

2

），
∵

AF

•

PB

=0，

AF

•

PB

=0，
∴AF⊥PB，AF⊥PB，
∴AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）設(shè)BE=a，∴E（a，1，0），

DE

=(a-

3

，1，0)，

PD

=(

3

，0，-1)，
設(shè)平面PDE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DE =(a- 3 )x+y=0 n • PD = 3 x-z=0

，
取x=1，得

n

=（1，

3

-a，

3

），
平面PCE的法向量為

AF

=(0，

1

2

，

1

2

)，
∵二面角C-PE-D為45°，
∴cos＜

n

，

AF

＞=

3 - 1 2 a

2 2 • a2-2 3 a+7

=

2

2

，
解得a=

5 3

6

，
∴當(dāng)BE=

5 3

6

時(shí)，二面角C-PE-D為45°．
AF⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查使得二面角為45°的線段長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．