Question

已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，點E是SC上任意一點．
（Ⅰ）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（Ⅱ）設(shè)SA=4，AB=2，求點A到平面SBD的距離；
（Ⅲ）當的值為多少時，二面角B-SC-D的大小為120°．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證平面EBD⊥平面SAC，只需證BD⊥面SAC，利用線面垂直的判定定理可證得；
（2）過A作AF⊥SO交SO于點F，則AF⊥面SBD，所以線段AF的長就是點A到平面SBD的距離，利用等面積法求出線段AF的長即可；
（3）作BM⊥SC于M，連接DM，可證得∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，利用余弦定理建立等量關(guān)系求解即可．
解答：解：證明（Ⅰ）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD?面ABCD，∴SA⊥BD，
∵SA∩AC=A，∴BD⊥面SAC，
又∵BDÌ面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC；（4分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD⊥面SAC，又∵BD?面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAC，設(shè)AC∩BD=O，
則平面SBD∩平面SAC=SO，過A作AF⊥SO交SO于點F，
則AF⊥面SBD，所以線段AF的長就是點A到平面SBD的距離．
∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，
又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，
∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，∴點A到平面SBD的距離為；（9分）
解：（Ⅲ）作BM⊥SC于M，連接DM，
∵SA⊥底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，
又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，
∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，
∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM．（11分）
要使∠BMD=120°，只須，
即BM²=，而BD²=2AB²，∴BM²=AB²，
∵BM×SC=SB×BC，SC²=SB²+BC²，∴BM²×SC²=SB²×BC²，
∴AB²（SB²+BC²）=SB²×BC²，
∵AB=BC，∴2SB²+2AB²=3SB²，∴SB²=2AB²，
又∵AB²=SB²-SA²，∴AB²=SA²，∴，
故當時，二面角B-SC-D的大小為120°．（14分）
點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．