Question

數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a_n+1=3a_n-3a_n²，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}為常數(shù)列，求a₁的值；
（Ⅱ）若，求證：；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：數(shù)列{a_2n}單調(diào)遞減．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知a_n+1=a_n，，由此可推導(dǎo)出a=0，或．
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（Ⅲ）因?yàn)閍_2n-a_2n-2=3（3a_2n-2-3a_2n-2²）-3（3a_2n-2-3a_2n-2²）²-a_2n-2=-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2（n≥2），
所以只要證明-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2＜0，然后用分析法能夠證明數(shù)列{a_2n}單調(diào)遞減．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}為常數(shù)列，
所以a_n+1=a_n，，
解得a_n=0或，
由n的任意性知，a₁=0或，
所以a=0，或；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明，
1當(dāng)n=12時(shí)，3，符合上式，
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212311796075652/SYS201310232123117960756015_DA/10.png">，
所以，
即，
從而，
即，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212311796075652/SYS201310232123117960756015_DA/15.png">，
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，成立，
由①，②知，；
（Ⅲ）因?yàn)閍_2n-a_2n-2=3（3a_2n-2-3a_2n-2²）-3（3a_2n-2-3a_2n-2²）²-a_2n-2=-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2（n≥2），
所以只要證明-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2＜0，
由（Ⅱ）可知，a_2n-2＞0，所以只要證明-27a_2n-2³+54a_2n-2²-36a_2n-2+8＜0，
即只要證明27a_2n-2³-54a_2n-2²+36a_2n-2-8＞0，
令f（x）=27x³-54x²+36x-8，
f'（x）=27×3x²-54×2x+36=9（9x²-12x+4）=9（3x-2）²≥0，
所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212311796075652/SYS201310232123117960756015_DA/18.png">，所以，
即27a_2n-2³-54a_2n-2²+36a_2n-2-8＞0成立，
故a_2n＜a_2n-2，
所以數(shù)列{a_2n}單調(diào)遞減．
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，考查不等式的證明，解題時(shí)要注意數(shù)列歸納法和分析法的證明技巧．