Question

19．已知a為實(shí)數(shù)，f（x）=x³-ax²-4x+4a．
（1）若f'（-1）=0，求a的值及f（x）在[-2，2]上的最值；
（2）若f（x）在（-∞，-2）和[2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（-1），求出a的值，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間的最值即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）依題意得 f'（x）=3x²-2ax-4…（2分）
由f'（-1）=0得$a=\frac{1}{2}$…（3分）
此時(shí)有$f（x）=（{x^2}-4）（x-\frac{1}{2}），f'（x）=3{x^2}-x-4$．
由f'（-1）=0得$x=\frac{4}{3}$或x=-1，
又$f（\frac{4}{3}）=-\frac{50}{27}，f（-1）=\frac{9}{2}，f（-2）=0，f（2）=0$，
所以f（x）在[-2，2]上的最大值為$\frac{9}{2}$，最小值為$-\frac{50}{27}$．…（7分）
（2）f'（x）=3x²-2ax-4的圖象為開口向上且過點(diǎn)（0，-4）的拋物線，
由條件得  $\left\{\begin{array}{l}f'（-2）≥0\\ f'（2）≥0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{8-4a≥0}\\{4a+8≥0}\end{array}\right.$，∴-2≤a≤2，
所以a的取值范圍為[-2，2]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．