Question

某生產飲料的企業(yè)擬投入適當的廣告費對產品進行促銷，在一年內，預計年產量Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數關系式為Q=(x≥0).已知生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬件此產品需再投入32萬元，若每件售價為“年平均每件成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和.

(1)試將利潤y（萬元）表示為年廣告費x(萬元)的函數.如果年廣告費投入100萬元，企業(yè)是虧損還是盈利？

（2）當年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？

（注： ①“年平均每件成本”中不計廣告費支出；②假定每年生產的產品當年全部售出）

Answer 1

解：（1）利潤=年收入-年成本-年廣告費，售價=×150%+×50%，

收入=（3+32Q）×150%+50%x,

∴y=(3+32Q)×150%+50%x-(3+32Q)-x

=(32Q+3-x)

=(32×+3-x)

=［32×(3-2x+1)+3-x］

=50-(+x+1).

當x=100時,y=50-12(+101)＜0,

∴此時企業(yè)虧損.

(2)∵64x+1+x+1≥=16,

∴y=50-(+x+1)≤50-8=42.

當且僅當=x+1,即x=7時取等號.

故當廣告投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大.

y_max=42.