Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊做兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為

2 5

5

，

3 10

10

．
（1）求cos2α；  
（2）求tan（α-β）的值．

Answer 1

分析：由A和B的橫坐標(biāo)，以及單位圓的半徑為1，根據(jù)銳角三角形函數(shù)定義一個(gè)角的余弦等于這個(gè)角的鄰邊比斜邊求出cosα及cosβ的值，再由α、β為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα及sinβ的值，進(jìn)而確定出tanα和tanβ的值，
（1）把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將cosα的值代入即可求出值；
（2）把所求式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將tanα和tanβ的值代入即可求出值．

解答：解：∵A、B的橫坐標(biāo)分別為

2 5

5

，

3 10

10

，且單位圓的半徑為1，
∴cosα=

2 5 5

1

=

2 5

5

，cosβ=

3 10 10

1

=

3 10

10

，
又α、β為銳角，
∴sinα=

1-cos2α

=

5

5

，sinβ=

1-cos2β

=

10

10

，…（3分）
∴tanα=

sinα

cosα

=

1

2

，tanβ=

sinβ

cosβ

=

1

3

，…（5分）
（1）cos2α=2cos²α-1=2×（

2 5

5

）²-1=

3

5

；    …（9分）
（2）tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

1 2 - 1 3

1+ 1 3 × 1 2

=

1

7

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了銳角三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正切函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．