Question

如圖1，在平行四邊形中，，，90°，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將該平行四邊形沿對(duì)角線折成直二面角，如圖2所示.

（1）若、分別是、的中點(diǎn)，且∥平面，求證：∥平面；

（2）當(dāng)圖1中+最小時(shí)，求圖2中二面角的大小.

圖1                       圖2

Answer 1

（1）證明: ∵∥平面，平面∩平面,∴∥.       

       ∵是的中點(diǎn).∴是中點(diǎn).

       又∵是點(diǎn).∴∥.

    ∵平面，∴∥平面.

   （2）解：由圖1可知，當(dāng)最小時(shí)，是的中點(diǎn).

       ∵平面⊥平面，⊥，⊥平面.

       故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則（0,0,1）,（1,,0）,（0,,0）,（0,,0）；

       （0,－－,0），（0,,0）.

       設(shè)平面的法向量為=（，，），則

                               

解得

       ∴平面ACE的一個(gè)法向量為

       而平面BCE的一個(gè)法向量為＝（0，0，1）.

       ∵，

       顯然，二面角為銳角，

       ∴二面角的大小為60°.