Question

已知函數(shù)f （x）=
（1）判斷f （x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明；
（2）若關(guān)于x的方程f （x）=k有根在[2，3]內(nèi)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f （x）=k x²有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，f （x）==，利用單調(diào)性的定義設(shè)0＜x₁＜x₂，判定f（x₁）與f（x₂）的大小即可
（2）當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）==結(jié)合x∈[2，3]可求f（x）的范圍，若f（x）=k在[2，3]上有解，則f（x）的范圍即是k的范圍
（3）f（x）=kx²有四個(gè)根，即（*）有四個(gè)根，當(dāng)x=0時(shí)，是方程（*）的1個(gè)根，則只要有3個(gè)不為0的根，而結(jié)合函數(shù)g（x）=的圖象可求
解答：解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，f （x）==
設(shè)0＜x₁＜x₂
∴
==
∵0＜x₁＜x₂
∴2（x₁-x₂）＜0，（2+x₁）（2+x₂）＞0
∴
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增
（2）當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）==
∴4≤2+x≤5，
∴
∵f（x）=k在[2，3]上有解，則
（3）f（x）=kx²有四個(gè)根，即（*）有四個(gè)根
當(dāng)x=0時(shí)，是方程（*）的1個(gè)根
則有3個(gè)不為0的根
而結(jié)合函數(shù)g（x）=的圖象可知滿足條件時(shí)有
∴k＞1

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，函數(shù)值域的求解，方程的根與函數(shù)交點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用