Question

已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓E過點（0，1），離心率為

2

2

．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線l過橢圓E的左焦點F，且與橢圓E交于A、B兩點，若△OAB的面積為

2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設橢圓E的方程，利用橢圓E過點（0，1），離心率為

2

2

，建立方程組，即可求橢圓E的方程；
（II）分類討論，再將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及S_△OAB=

1

2

|OF||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

2

3

，即可求直線l的方程．

解答：解：（I）設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則
∵橢圓E過點（0，1），離心率為

2

2

，
∴

b=1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，∴a²=2，b²=1
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1；
（II）（1）l⊥x軸時，A（-1，-

2

2

），B（-1，

2

2

），|AB|=

2

∴△OAB的面積為

1

2

×

2

×1=

2

2

，不滿足題意；
（2）l與x軸不垂直時，設方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4k2 (1+2k2)2 + 4k2 1+2k2

∵S_△OAB=

1

2

|OF||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

2

3

∴|y₁-y₂|=

4

3

∴

4k2 (1+2k2)2 + 4k2 1+2k2

=

4

3

∴k⁴+k²-2=0
∴k=±1
∴直線l的方程為x-y+1=0或x+y+1=0．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．