Question

在△ABC中，求證：
（1）sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC；
（2）sinA+sinB-sinC=4sin

A

2

sin

B

2

cos

C

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）△ABC中，利用余弦定理可得a²+b²-c²=2ab•cosC．再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，可得要證的等式成立．
（2）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡等式右邊，結(jié)果正好等于等式的左邊，可得要證的等式成立．

解答： 解：（1）證明：△ABC中，利用余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
即a²+b²-c²=2ab•cosC．
再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，
∴要證的等式成立．
（2）△ABC中，∵等式右邊=4sin

A

2

sin

B

2

cos

C

2

=4sin

A

2

sin

B

2

cos

π-A-B

2

 
=4sin

A

2

sin

B

2

sin

A+B

2

=4sin

A

2

sin

B

2

（sin

A

2

cos

B

2

+cos

A

2

sin

B

2

）
=2sin2

A

2

sinB+2sinAsin2

B

2

=（1-cosA）sinB+sinA（1-cosB）
=sinB+sinA-（sinBcosA+cosBsinA）=sinA+sinB-sin（A+B）
=sinA+sinB-sinC=左邊，
∴要證的等式成立．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，屬于中檔題．