Question

【題目】已知點(diǎn)，分別是橢圓 的長軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如果斜率為的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn) (都不同于點(diǎn))，線段的中點(diǎn)為，設(shè)線段的垂線的斜率為，試探求與之間的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由，利用平面向量數(shù)量積公式可得.

所以，由兩邊平方結(jié)合可得，求出 的值，從而可得結(jié)果；（2）直線的方程為，聯(lián)立消去整理，得，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜率公式化簡可得.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，

所以.

所以.

因?yàn)?/span>，

所以.

所以.

所以所求橢圓的方程為

（2）設(shè)直線的方程為（，為常數(shù)）.

①當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)線段的中點(diǎn)為在軸上，所以線段的垂線的斜率為0，即；

②當(dāng)時(shí)，聯(lián)立消去整理，得.

設(shè)點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)，則，

由韋達(dá)定理，得，，所以.

所以.

所以.

所以直線的斜率為.

所以線段的垂線的斜率為.故與之間的關(guān)系是

綜上，與之間的關(guān)系是.