Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n+n-4（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_nlog₂（a_n-1），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n+n-4，可得S_n-1=2a_n-1+（n-1）-4，兩式相減可得a_n-1=2（a_n-1-1），故數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，由此可求；
（2）由（1）可得Cn=(2n+1)n=n•2n+n，然后分兩部分求和，一部分錯(cuò)位相減，一部分等差數(shù)列的求和公式，即可得答案．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n+n-4，∴S_n-1=2a_n-1+（n-1）-4
∴a_n=2a_n-2a_n-1+1，從而a_n=2a_n-1-1即a_n-1=2（a_n-1-1）
∴數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列
又a₁=S₁=2a₁-3，故a₁=3
因此an-1=(a1-1)×2n-1=2n
∴an=2n+1
（2）由（1）可得Cn=(2n+1)n=n•2n+n
記An=1×2+2×22+3×23+…+n•2n
∴2An=1×22+2×23+…+(n-1)•2n+n•2n+1
兩式相減可得：-An=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=-2+(1-n)•2n+1
∴An=(n-1)•2n+1+2
∴Tn=(n-1)•2n+1+2+

n(n+1)

2

點(diǎn)評：本題為數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及錯(cuò)位相減法求和以及分項(xiàng)求和，屬中檔題．