Question

（2013•上海）甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求1≤x≤10），每一小時(shí)可獲得的利潤是100（5x+1-

3

x

）元．
（1）求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100a（5+

1

x

-

3

x2

）元；
（2）要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤．

Answer 1

分析：（1）由題意可得生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所用的時(shí)間是

a

x

小時(shí)，由于每一小時(shí)可獲得的利潤是100（5x+1-

3

x

）元，即可得到生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤；
（2）利用（1）的結(jié)論可得生產(chǎn)1千克所獲得的利潤為90000（5+

1

x

-

3

x2

），1≤x≤10．進(jìn)而得到生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所用的時(shí)間是

a

x

小時(shí)，
∵每一小時(shí)可獲得的利潤是100（5x+1-

3

x

）元，∴獲得的利潤為100（5x+1-

3

x

）×

a

x

元．
因此生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100a（5+

1

x

-

3

x2

）元．
（2）生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤為90000（5+

1

x

-

3

x2

），1≤x≤10．
設(shè)f（x）=-

3

x2

+

1

x

+5，1≤x≤10．
則f（x）=-3(

1

x

-

1

6

)2+

1

12

+5，當(dāng)且僅當(dāng)x=6取得最大值．
故獲得最大利潤為90000×

61

12

=457500元．
因此甲廠應(yīng)以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤457500元．

點(diǎn)評(píng)：正確理解題意和熟練掌握二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．