Question

已知數列{b_n}的前n項和為S_n，b₁=1且點（n，S_n+n+2）在函數f（x）=log₂x-1的反函數y=f^-1（x）的圖象上．若數列{a_n}滿足a₁=1，an=bn(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

) (n≥2，n∈N*)．
（Ⅰ）求b_n；
（Ⅱ）求證：

an+1

an+1

=

bn

bn+1

(n≥2，n∈N*)；
（Ⅲ）求證：(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

a3

)•…•(1+

1

an

)＜

10

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由y=log₂x-1，可得x=2^y+1，故反函數為f^-1（x）=2^x+1，所以有S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，b₁=1，再由前n項和與通項的關系求得b_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）根據an=bn(

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

)(n≥2，n∈N*)，可得

an

bn

=

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

，從而有

an+1

bn+1

=

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

+

1

bn

，所以

an+1

bn+1

-

an

bn

=

1

bn

，從而有

an+1

bn+1

=

an

bn

+

1

bn

=

an+1

bn

，變形可得結論．
（Ⅲ）注意討論，當n=1時成立，當n≥2時，由（Ⅱ）知(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

a3

)••(1+

1

an

)
=

a1+1

a1

•

a2+1

a2

•

a3+1

a3

••

an+1

an

=

a1+1

a1a2

•

a2+1

a3

•

a3+1

a4

••

an+1

an+1

•an+1
=

2

3

•

b2

b3

•

b3

b4

••

bn

bn+1

•an+1
=

2

3

•

b2

bn+1

•an+1=2•

an+1

bn+1

=2(

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

+

1

bn

)=2（1+

1

3

++

1

2n-1

）再放縮求解．

解答：解：（Ⅰ）令y=log₂x-1，則x=2^y+1，故反函數為f^-1（x）=2^x+1，
∴S_n+n+2=2ⁿ⁺¹，則S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，b₁=1，（2分）
n≥2時，S_n-1=2ⁿ-n-1，∴S_n-S_n-1=2ⁿ-1，即b_n=2ⁿ-1（n≥2），b₁=1滿足該式，故b_n=2ⁿ-1．（4分）
（Ⅱ）證明：∵an=bn(

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

)(n≥2，n∈N*)，
∴

an

bn

=

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

，

an+1

bn+1

=

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

+

1

bn

，
∴

an+1

bn+1

-

an

bn

=

1

bn

，從而

an+1

bn+1

=

an

bn

+

1

bn

=

an+1

bn

，
∴

an+1

an+1

=

bn

bn+1

(n≥2，n∈N*)．（8分）
（Ⅲ）證明；b₁=1，b₂=3，a₁=1，a₂=3，
當n=1時，左邊=1+

1

a1

=2＜

10

3

=右邊．（9分）
當n≥2時，由（Ⅱ）知(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

a3

)••(1+

1

an

)
=

a1+1

a1

•

a2+1

a2

•

a3+1

a3

••

an+1

an

=

a1+1

a1a2

•

a2+1

a3

•

a3+1

a4

••

an+1

an+1

•an+1
=

2

3

•

b2

b3

•

b3

b4

••

bn

bn+1

•an+1
=

2

3

•

b2

bn+1

•an+1=2•

an+1

bn+1

=2(

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

+

1

bn

)．（11分）
而

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

+

1

bn

=1+

1

3

++

1

2n-1

．
當k≥2時，

1

2k-1

=

2k+1-1

(2k-1)(2k+1-1)

＜

2k+1

(2k-1)(2k+1-1)

=2(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)
∴1+

1

3

++

1

2n-1

＜1+2[(

1

22-1

-

1

23-1

)+(

1

23-1

-

1

24-1

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]
=1+2(

1

3

-

1

2n+1-1

)＜

5

3

，
∴(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

a3

)••(1+

1

an

)＜

10

3

．（14分）

點評：本題主要考查數列與函數，不等式的綜合運用，主要涉及了求反函數，數列前n項和與通項的關系以及放縮法，裂項法等．