Question

把圓周4等分，A是其中一個(gè)分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在四個(gè)分點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn)．投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，它的四個(gè)面上分別寫著1，2，3，4四個(gè)數(shù)字，P從A點(diǎn)出發(fā)，按照正四面體底面上所投擲的點(diǎn)數(shù)前進(jìn)（數(shù)字為n就前進(jìn)n個(gè)分點(diǎn)），轉(zhuǎn)一周之前繼續(xù)投擲．
（Ⅰ）求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率：
（Ⅱ）在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一周能返回A點(diǎn)的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量ζ表示點(diǎn)P返回A點(diǎn)時(shí)的投擲次數(shù)，求ζ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)包括投擲1次返回A點(diǎn)時(shí)，所得底面上的數(shù)字為4，投擲2次返回A點(diǎn)時(shí)，應(yīng)分別投出1，3；2，2；3，1三種點(diǎn)數(shù)情況，投擲3次返回A點(diǎn)時(shí)，應(yīng)分別投出1，1，2；1，2，1；2，1，1三種情況，投擲4次返回A點(diǎn)時(shí)，分別投出1，1，1，1情況，
根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，得到結(jié)果．
（II）在恰能返回A點(diǎn)的情況下，ξ有1，2，3，4共四種取值的可能結(jié)果，結(jié)合第一問(wèn)做出的結(jié)果，寫出變量的分布列，做出數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）記點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)為事件A，投擲1次、2次、3次、4次返回A點(diǎn)分別為事件B₁、B₂、B₃、B₄，
則：投擲1次返回A點(diǎn)時(shí)，所得底面上的數(shù)字為4，故P（B₁）=

1

4

；
投擲2次返回A點(diǎn)時(shí)，應(yīng)分別投出1，3；2，2；3，1三種點(diǎn)數(shù)情況，
故P（B₂）=

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

=

3

16

；
投擲3次返回A點(diǎn)時(shí)，應(yīng)分別投出1，1，2；1，2，1；2，1，1三種情況，
故P（B₃）=

1

4

×

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

×

1

4

=

3

64

；
投擲4次返回A點(diǎn)時(shí)，分別投出1，1，1，1情況，故P（B₄）=

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

=

1

256

；
∴P（A）=P（B₁）+P（B₂）+P（B₃）+P（B₄）=

1

4

+

3

16

+

3

64

+

1

256

=

125

256

（Ⅱ）由（Ⅰ）知恰能返回A點(diǎn)的情況共有8種，
由隨機(jī)變量ζ表示點(diǎn)P轉(zhuǎn)一周能返回A點(diǎn)的所有結(jié)果中的投擲次數(shù)，
可得ξ有1，2，3，4共四種取值的可能結(jié)果，
∴P（ξ=1）=

1

8

，
P（ξ=2）=

3

8

，
P（ξ=3）=

3

8

，
P（ξ=4）=

1

8

，
∴ξ的分布列為

∴Eξ=1×

1

8

+2×

3

8

+3×

3

8

+4×

1

8

=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查互斥事件的概率，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查分類討論思想，是一個(gè)綜合題目，這種題目理科通常會(huì)作為高考題目．