【題目】在平面直角坐標系中,①已知點,直線,動點P滿足到點Q的距離與到直線的距離之比為.②已知點是圓上一個動點,線段HG的垂直平分線交GEP.③點分別在軸,y軸上運動,且,動點P滿足

1)在①,②,③這三個條件中任選一個,求動點P的軌跡C的方程;

(注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分)

2)設(shè)圓上任意一點A處的切線交軌跡CM,N兩點,試判斷以MN為直徑的圓是否過定點?若過定點,求出該定點坐標.若不過定點,請說明理由.

【答案】1)不管選條件幾,;(2)以為直徑的圓過定點.

【解析】

1)若選①,則可設(shè),根據(jù)距離之比可得滿足的方程,化簡后可得所求的方程.若選①,根據(jù)題設(shè)條件可得,由橢圓的定義可得所求的曲線方程.若選③,,設(shè),則根據(jù)新老坐標的關(guān)系可求曲線的方程.

2)當過點A且與圓O相切的切線斜率存在時,設(shè)切線方程為,根據(jù)它與圓相切可得,再設(shè),可用的橫坐標表示以為直徑的圓,再聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去后利用韋達定理和前述等式化簡得到,從而可得以MN為直徑的圓過原點.注意討論斜率不存在的情況.

解:(1)若選①,

設(shè),根據(jù)題意得,, 整理得.

所以動點P的軌跡C的方程為.

若選②,由

由題意得,所以

所以點P的軌跡C是以H,E為焦點的橢圓,且,故

所以動點P的軌跡C的方程為.

若選③,設(shè),故

因為,所以

將其代入,所以動點P的軌跡C的方程為.

2)當過點A且與圓O相切的切線斜率不存在時,切線方程為.

當切線方程為時,

為直徑的圓的方程為.

當切線方程為時,,

為直徑的圓的方程為.

由①②聯(lián)立,可解得交點為.

當過點A且與圓O相切的切線斜率存在時,設(shè)切線方程為,

,故.

聯(lián)立切線與橢圓C的方程并消去y,得

.

因為

,

所以切線與橢圓C恒有兩個交點.

設(shè),則,

因為,

所以

.

所以.

所以以MN為直徑的圓過原點.

綜上所述,以為直徑的圓過定點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓,圓,如圖,C1,C2分別交x軸正半軸于點E,A.射線OD分別交C1C2于點B,D,動點P滿足直線BPy軸垂直,直線DPx軸垂直.


1)求動點P的軌跡C的方程;

2)過點E作直線l交曲線C與點MN,射線OHl與點H,且交曲線C于點Q.問:的值是否是定值?如果是定值,請求出該定值;如果不是定值,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直三棱柱,,,分別為,的中點,且

1)求證:平面;

2)求;

3)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,為圓的直徑,點,在圓上,,矩形所在平面和圓所在平面互相垂直,已知,

1)求證:平面平面

2)若幾何體和幾何體的體積分別為,求.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知曲線,則下面結(jié)論正確的是(

A.上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線

B.上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線

C.向左平移個單位長度,再把得到的曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍.縱坐標不變,得到曲線

D.向左平移個單位長度,再把得到的曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍,縱坐標不變,得到曲線

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,由經(jīng)過伸縮變換得到曲線,以原點為極點,軸非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為

(1)求曲線的極坐標方程以及曲線的直角坐標方程;

(2)若直線的極坐標方程為,與曲線、曲線在第一象限交于、,且,點的極坐標為,求的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)處取到極值為

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若不等式上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系中,曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)),以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線D的極坐標方程為.

1)寫出曲線C的極坐標方程以及曲線D的直角坐標方程;

2)若過點(極坐標)且傾斜角為的直線l與曲線C交于MN兩點,弦MN的中點為P,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,對幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻.為調(diào)查中學(xué)生對這一偉大科學(xué)家的了解程度,某調(diào)查小組隨機抽取了某市的100名高中生,請他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”,少于三項的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下:

0項

1項

2項

3項

4項

5項

5項以上

理科生(人)

1

10

17

14

14

10

4

文科生(人)

0

8

10

6

3

2

1

(1)完成如下列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為,了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)?

比較了解

不太了解

合計

理科生

文科生

合計

(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.

(i)求抽取的文科生和理科生的人數(shù);

(ii)從10人的樣本中隨機抽取3人,用表示這3人中文科生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

,.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案