Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，①已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)P滿足到點(diǎn)Q的距離與到直線的距離之比為．②已知點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段HG的垂直平分線交GE于P．③點(diǎn)分別在軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)P滿足．

（1）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)

（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)A處的切線交軌跡C于M，N兩點(diǎn)，試判斷以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）不管選條件幾，；（2）以為直徑的圓過定點(diǎn).

【解析】

（1）若選①，則可設(shè)，根據(jù)距離之比可得滿足的方程，化簡(jiǎn)后可得所求的方程.若選①，根據(jù)題設(shè)條件可得，由橢圓的定義可得所求的曲線方程.若選③，，設(shè)，則根據(jù)新老坐標(biāo)的關(guān)系可求曲線的方程.

（2）當(dāng)過點(diǎn)A且與圓O相切的切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，根據(jù)它與圓相切可得，再設(shè)，可用的橫坐標(biāo)表示以為直徑的圓，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理和前述等式化簡(jiǎn)得到，從而可得以MN為直徑的圓過原點(diǎn).注意討論斜率不存在的情況.

解：（1）若選①，

設(shè)，根據(jù)題意得，， 整理得.

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為.

若選②，由得，

由題意得，所以，

所以點(diǎn)P的軌跡C是以H，E為焦點(diǎn)的橢圓，且，故

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為.

若選③，設(shè)，故

因?yàn)?/span>，所以即，

將其代入得，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為.

（2）當(dāng)過點(diǎn)A且與圓O相切的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為.

當(dāng)切線方程為時(shí)，

以為直徑的圓的方程為.①

當(dāng)切線方程為時(shí)，，

以為直徑的圓的方程為.②

由①②聯(lián)立，可解得交點(diǎn)為.

當(dāng)過點(diǎn)A且與圓O相切的切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，

則，故.

聯(lián)立切線與橢圓C的方程并消去y，得

.

因?yàn)?/span>

，

所以切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn).

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，

所以

.

所以.

所以以MN為直徑的圓過原點(diǎn).

綜上所述，以為直徑的圓過定點(diǎn).