Question

在(

1

x

+

5	1 x3

) n的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為1024，則中間項(xiàng)系數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)判斷出二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)等于展開式的項(xiàng)的系數(shù)，利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和，列出方程求出n，判斷出中間項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，求出系數(shù)．

解答：解：(

1

x

+

5	1 x3

)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)等于展開式的項(xiàng)的系數(shù)
∴所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為2^n-1
∴2^n-1=1024
∴n=11
∴展開式共有12項(xiàng)，中間項(xiàng)為第六、第七項(xiàng)
∴中間項(xiàng)系數(shù)是C₁₁⁵=C₁₁⁶=462
故答案為462

點(diǎn)評：解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，一般考慮二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；解決二項(xiàng)式系數(shù)和問題可以利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式．