Question

（理科做）
閱讀下面題目的解法，再根據(jù)要求解決后面的問題．
閱讀題目：對于任意實數(shù)a₁，a₂，b₁，b₂，證明不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²=（a₁²+a₂²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂）x+（b₁²+b₂²）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a₁b₁+a₂b₂）]²-4（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≤0，
即（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
（其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a₁x+b₁=a₂x+b₂=0，即a₁b₂=a₂b₁．）
問題：（1）請用這個不等式證明：對任意正實數(shù)a，b，x，y，不等式

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

成立．
（2）用（1）中的不等式求函數(shù)y=

2

x

+

9

1-2x

(0＜x＜

1

2

)的最小值，并指出此時x的值．
（3）根據(jù)閱讀題目的證明，將不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）進行推廣，得到一個更一般的不等式，并用構(gòu)造函數(shù)的方法對你的推廣進行證明．

Answer 1

分析：（1）不等式兩邊同乘x+y，然后利用已知條件，證明不等式，再轉(zhuǎn)化為所求證的不等式即可．
（2）直接利用（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²），求出函數(shù)的最小值即可．
（3）可將不等式推廣到n元的情形，對于任意實數(shù)a₁，a₂，…，a_n；b₁，b₂，…，b_n，不等式（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²≤（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）成立．證明如下：設(shè)f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²）．注意到f（x）≥0，所以△≤0，推出要證明的結(jié)論．

解答：證明：（1）因為都是a，b，x，y正實數(shù)，由已知不等式得(x+y)(

a2

x

+

b2

y

)=[(

x

)2+(

y

)2][(

a

x

)2+(

b

y

)2]≥(

x

•

a

x

+

y

•

b

y

)2=(a+b)2，（2分）
所以不等式

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

成立．
（其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

x

•

b

y

=

y

•

a

x

，即ay=bx．）…（4分）
解：2）因為0＜x＜

1

2

，所以y=

2

x

+

9

1-2x

=

22

2x

+

32

1-2x

≥

(2+3)2

2x+(1-2x)

=25…（7分）
（其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)2（1-2x）=3•2x即x=

1

5

∈(0，

1

2

)．
所以函數(shù)y=

2

x

+

9

1-2x

(0＜x＜

1

2

)有最小值25，此時x=

1

5

．…（10分）
解：（3）可將不等式推廣到n元的情形，即
對于任意實數(shù)a₁，a₂，…，a_n；b₁，b₂，…，b_n，
不等式（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²≤（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）成立．…（13分）
證明如下：
設(shè)f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²）．注意到f（x）≥0，所以△=[2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）]²-4（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≤0，
即（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²≤（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）．…（15分）
其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a₁x+b₁=a₂x+b₂=…=a_nx+b_n=0，
即a_ib_j=a_jb_i（i，j=1，2，…，n，i≠j）．…（16分）

點評：本題是中檔題，考查不等式的證明與應(yīng)用，不等式求函數(shù)的最值，考查選上的閱讀能力，知識的應(yīng)用能力，邏輯推理能力．