Question

如圖，現(xiàn)在要在一塊半徑為1m．圓心角為60°的扇形紙板AOB上剪出一個(gè)平行四邊形MNPQ，使點(diǎn)P在AB弧上，點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，設(shè)∠BOP=θ．平行四邊形MNPQ的面積為S．
（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求S的最大值及相應(yīng)θ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件合理建立方程，從而導(dǎo)出S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式．
（2）利用三角函數(shù)求出S的最大值及相應(yīng)θ的值．
解答：解：①分別過點(diǎn)P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分別為D、E，則四邊形QEDP是矩形．
PD=sinθ，OD=cosθ．
在Rt△OEQ中，∠AOB=，
則OE=QE=PD．
所以MN=PQ=DE=OD-OE=cosθ-sinθ．
則S=MN×PD=（cosθ-sinθ）×sinθ=sinθcosθ-sin²θ，θ∈（0，）．
（2）S=sin2θ-（1-cos2θ）=sin2θ+cos2θ-=sin（2θ+）-．
因?yàn)?＜θ＜，所以＜2θ+＜，
所以＜sin（2θ+）≤1．所以當(dāng)2θ+=，即θ=時(shí)，S的值最大為m²．
即S的最大值是m²，相應(yīng)θ的值是．
點(diǎn)評：挖掘題設(shè)條件，合理運(yùn)用三角函數(shù)是正確解題的關(guān)鍵．