解:(1)f′(x)=
=
(x>0),
當a≤0時,f′(x)>0,f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
f(x)在[1,+∞)上無最大值,不合題意;
當0<
即a≥1時,f′(x)≤0,f(x)在[1,+∞)上遞減,
所以f(x)在[1,+∞)上的最大值為f(1)=-a+1,
由f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,得-a+1≤0,解得a≥1;
當
即0<a<1時,x∈[1,
)時f′(x)>0,f(x)遞增,x∈(
,+∞)時f′(x)<0,f(x)遞減,
所以
=-lna,則-lna≤0,解得a≥1,此時無解;
綜上,a≥1,所以實數(shù)a的最小值為1;
(2)(x)=-
+b即lnx+
=b,
令g(x)=lnx+
(x>0),則g′(x)=
=
,
當1≤x<2時g′(x)<0,g(x)遞減,當2<x≤4時g′(x)>0,g(x)遞增,
所以x=2時g(x)取得最小值為ln2-2,
又g(1)=-1,g(4)=ln4-1,所以g(x)的最大值為ln4-1,
作出g(x)在[1,4]上的草圖如下:
由于方程在[1,4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根,
根據(jù)圖象可知b的范圍為[ln2-2,-1];
證明:(3)由(1)知,因為a
n+1=lna
n+a
n+2,
所以a
n+1≤a
n-1+a
n+2=2a
n+1,即a
n+1+1≤2(a
n+1),
所以
≤2×2×2×…×2=2
n-1,即
,
所以a
n+1≤2
n,即
;
分析:(1)求導數(shù)f′(x),對任意的x∈[1,+∞),f(x)≤0恒成立,等價于f(x)在[1,+∞)上的最大值小于等于0,根據(jù)a的范圍分類討論,利用導數(shù)即可求得f(x)的最大值;
(2)表示出方程,分離出b,然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx+
(x>0),利用導數(shù)可求出g(x)在[1,4]上的值域,作出g(x)的草圖,由圖象即可求得b的范圍;
(3)由(1)得a=1時f(x)≤0,即lnx≤x-1,則a
n+1=lna
n+a
n+2可化為a
n+1≤a
n-1+a
n+2=2a
n+1,即a
n+1+1≤2(a
n+1),所以
,由此構(gòu)造n-1個不等式累乘即可得到結(jié)論;
點評:本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、數(shù)列與不等式的綜合、函數(shù)恒成立等知識,解決(3)問的關(guān)鍵是借助(1)問結(jié)論恰當構(gòu)造不等式.