Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

．
（1）求a_n與b_n；
（2）證明：

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

Answer 1

分析：（1）利用b₂+S₂=12和數(shù)列{b_n}的公比q=

S2

b2

，即可列出方程組求的q、a₂的值，進(jìn)而獲得問題的解答；
（2）首先利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算出數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后利用疊加法即可獲得問題的解答．

解答：（1）解：由已知等比數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

．
∴q+3+a₂=12，q=

3+a2

q

∴q=3或q=-4（舍去），∴a₂=6
∴a_n=3+（n-1）3=3n，b_n=3^n-1；
（2）證明：∵S_n=

n(3+3n)

2

，∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

…+

1

n

-

1

n+1

）=

2

3

(1-

1

n+1

)
∵n≥1，∴0＜

1

n+1

≤

1

2

∴

1

3

≤

2

3

(1-

1

n+1

)＜

2

3

∴

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求法與不等式的綜合問題，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用疊加法求數(shù)列的和．