Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…為自然數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng) ≤a≤1時(shí)，求證：對(duì)任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ex（sinx﹣e），

則f′（x）=ex（sinx﹣e）+excosx=ex（sinx﹣e+cosx），

∵sinx+cosx= sin（x+ ）≤ ＜e，

∴sinx+cosx﹣e＜0

故f′（x）＜0

則f（x）在R上單調(diào)遞減

（2）解：當(dāng)x≥0時(shí)，y=ex≥1，

要證明對(duì)任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

則只需要證明對(duì)任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．

設(shè)g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，

看作以a為變量的一次函數(shù)，

要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，

則 ，即 ，

∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，

對(duì)于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，

則h′（x）=cosx﹣2x，

設(shè)x=t時(shí)，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．

∴t= ，sint＜sin ，

∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，

則當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（ ）2+2﹣e

=sint﹣ +2﹣e= sin2t+sint+ ﹣e=（ +1）2+ ﹣e≤（ ）2+ ﹣e= ﹣e＜0，

故④式成立，

綜上對(duì)任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0

【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行討論即可．（2）對(duì)任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，即可，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．