平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)的直線x+y-
3
=0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為
1
2
．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．
（Ⅰ）把右焦點(diǎn)（c，0）代入直線x+y-
3
=0得c+0-
3
=0，解得c=
3
．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)P（x0，y0），
則
x21
a2
+
y21
b2
=1，
x22
a2
+
y22
b2
=1，相減得
x21
-
x22
a2
+
y21
-
y22
b2
=0，
∴
x1+x2
a2
+
y1+y2
b2
×
y1-y2
x1-x2
=0，
∴
2x0
a2
+
2y0
b2
×(-1)=0，又kOP=
1
2
=
y0
x0
，
∴
1
a2
-
1
2b2
=0，即a2=2b2．
聯(lián)立得
a2=2b2
a2=b2+c2
c=
3
，解得
b2=3
a2=6
，
∴M的方程為
x2
6
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可設(shè)直線CD的方程為y=x+t，
聯(lián)立
y=x+t
x2
6
+
y2
3
=1
，消去y得到3x2+4tx+2t2-6=0，
∵直線CD與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴△=16t2-12（2t2-6）=72-8t2＞0，解-3＜t＜3（*）．
設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=-
4t
3
，x3x4=
2t2-6
3
．
∴|CD|=
(1+12)[(x3+x4)2-4x3x4]
=
2[(-
4t
3
)2-4×
2t2-6
3
]
=
2
2
•
18-2t2
3
．
聯(lián)立
x+y-
3
=0
x2
6
+
y2
3
=1
得到3x2-4
3
x=0，解得x=0或
4
3
3
，
∴交點(diǎn)為A（0，
3
），B(
4
3
3
，-
3
3
)，
∴|AB|=
(
4
3
3
-0)2+(-
3
3
-
3
)2
=
4
6
3
．
∴S四邊形ACBD=
1
2
|AB||CD|=
1
2
×
4
6
3
×
2
2
•
18-2t2
3
=
8
3
•
18-2t2
9
，
∴當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，四邊形ACBD面積的最大值為
8
3
6
，滿足（*）．
∴四邊形ACBD面積的最大值為
8
3
6
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的一邊上取一點(diǎn)E，使AE＝AD，從AB的中點(diǎn)F作HF⊥EC于H．

(1)求證：FH＝FA；
(2)求EH∶HC的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知圓的方程為x2+y2=4，過(guò)點(diǎn)M（2，4）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A1、A2，直線A1A2恰好經(jīng)過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交定直線l：x=-4于兩點(diǎn)Q、R，求證
OQ
•
OR
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知直線l與橢圓
x2
36
+
y2
9
=1交于A和B兩點(diǎn)，點(diǎn)（4，2）是線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓E：（x+
3
）2+y2=16，點(diǎn)F（
3
，0），P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是軌跡Γ的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且|CA|=|CB|，問(wèn)△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3
2
，
2
），橢圓的離心率e=
2
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M作兩直線與橢圓C分別交于相異兩點(diǎn)A、B．若∠AMB的平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)集合A={（x，y）|y=2x-1，x∈N*}，B={（x，y）|y=ax2-ax+a，x∈N*}，問(wèn)是否存在非零整數(shù)a，使A∩B≠∅？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

若點(diǎn)P（2，-1）平分橢圓
x2
12
+
y2
8
=1的一條弦，則該弦所在的直線方程為_(kāi)_____．（結(jié)果寫(xiě)成一般式）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)為A，短軸端點(diǎn)分別為B、C，另有拋物線y=x2+b．
（Ⅰ）若拋物線上存在點(diǎn)D，使四邊形ABCD為菱形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若a=2，過(guò)點(diǎn)B作拋物線的切線，切點(diǎn)為P，直線PB與橢圓相交于另一點(diǎn)Q，求
|PQ|
|QB|
的取值范圍．

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