Question

P、Q、M、N四點都在中心為坐標原點，離心率，左焦點F（-1，0）的橢圓上，已知，求四邊形PMQN的面積的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)已知條件求出橢圓方程，再設(shè)PQ的方程為ky=x+1，聯(lián)立橢圓方程以及弦長公式求出|PQ|的長，當k≠0時，同樣的方法求出MN的長；直接代入對角線互相垂直的四邊形的面積計算公式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出面積的取值范圍； 當k=0時，面積為定值；綜合即可得到結(jié)論．
解答：解：橢圓方程為，
∵，PQ⊥MN．
設(shè)PQ的方程為ky=x+1，代入橢圓方程消去x得（2+k²）y²-2ky-1=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁），
則=．
（Ⅰ）當k≠0時，MN的斜率為，同理可得，
故四邊形面積．
令，則u≥2，即
當k=±1時，．且S是以u為自變量的增函數(shù)，
∴．
（Ⅱ） 當k=0時，MN為橢圓的長軸，，
綜合（Ⅰ） （Ⅱ）知，四邊形PQMN面積的最大值為2，最小值為．
點評：本題主要考查橢圓與直線的位置關(guān)系．在求直線與圓錐曲線的綜合問題時，一般是聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，再結(jié)合韋達定理，弦長公式等來解題．